Trocha pravděpodobnosti pro běžný život

Asi tak před rokem jsem se náhodou vyskytnul před zapnutou televizí (no dobře, tehdy jsem ji asi opravdu zapnul sám ;-)) a hned jsem zkameněl údivem. Právě tam běžel pořad ala „zajímavosti ze světa“ a mluvil nějaký světlovlasý anglický venkovan, jemuž se narodilo osm dětí, čtyři chlapci a čtyři děvčata. Pointou celé reportáže bylo, že se děti rodily „na střídačku“, tedy jednou chlapec, podruhé děvče atd. Bylo to prezentováno jako neuvěřitelná vzácnost s tím, že jejich otec tam doslova pronesl, že „se říká, že šance takovéto události je asi jednu ku dvaceti milionům“.

Příliš mne neudivilo, že kdejaký balík z anglického venkova nekriticky papouškuje vše, co slyší, notabene pokud to v něm probudí alespoň minimální pocit výjimečnosti. Ani si nedělám iluze o intelektových kvalitách průměrného reportéra. Přesto mne překvapilo, že minimálně celou Británií a posléze Českou republikou mohl proběhnout v televizi absolutní faktický nesmysl týkající se otázky, na kterou existuje jednoznačný vědecký konsenzus.

Dlouhodobě je poměr počtu narozených chlapců a dívek 106:100, někdy se uvádí 105:100. Toto se trochu liší podle geografických oblastí a poměr kolísá od 103:100 do 108:100. I kdybychom předpokládali poměr 100:100, tedy 1:1, na přesnosti následujících výpočtu by se toho z praktického hlediska příliš nezměnilo. Pravděpodobnost narození chlapce je tedy 106/(106+100) = 0,5145631 = x a dívky 100/(106+100) = 0,4854369 = y. Pravděpodobnost, že z osmi narozených dětí budou čtyři chlapci a čtyři dívky v pořadí chlapec/dívka je tedy x*y*x*y*x*y*x*y, pro lidi seznámené s běžnou symbolickou konvencí též (x^4)*(y^4) nebo (x**4)*(y**4), což je rovno 0,003893.

No a nejdůležitější na tom je, že tato pravděpodobnost je shodná pro jakékoliv pořadí, v němž se tito čtyři chlapci a čtyři dívky narodí - pravděpodobnosti je v tomto případě pořadí naprosto ukradené. Vždy dostanete stejný výsledek bez ohledu na to, v jakém pořadí ta čísla vynásobíte. Opravdu ji nezajímá, že anglický balík vidí v jistém konkrétním uspořádání hezkou pravidelnost. Tento případ je stejně vzácný, jako když se prvně narodí všichni chlapci a poté všechny dívky nebo naopak. Nebo jakkoliv jinak. A jak vidíme, šance tohoto konkrétního případu je přibližně 4:1000 = 1:250, tedy vysoce nad jedna ku dvaceti milionům (i šance, že ve sportce při vsazení jednoho sloupečku uhodnete všech šest čísel, je vyšší než jedna ku dvaceti milionům). Jinak řečeno, pokud se vám narodí osm dětí, v jednom  z 250 případů to budou čtyři chlapci a čtyři děvčata „na střídačku“. V jednom ze 125 případů to potom budou pohlaví „na střídačku“ bez ohledu na to, které se narodí jako první.

A protože je pravděpodobnost narození děvčete nižší než pravděpodobnost narození chlapce, jakýkoliv případ, kdy z osmi dětí je minimálně pět děvčat, je vzácnější, než onen doširoka vytrubovaný případ čtyř chlapců a čtyř děvčat „na střídačku“. Aneb ignorance  a znalostní deficit některých osob jsou opravdu odpornou kombinací.

Nyní ještě pár teoretických poznámek ke konceptu pravděpodobnosti. Každý z nás několikrát denně použije slovíčko „pravděpodobně“. Rozumíme si, aniž bychom ho ostřeji definovali. Osobně tím míním „spíše ano“. Je zajímavé, že IFRS – Mezinárodní standardy finančního vykazování, které vznikají v Evropě, slůvkem „pravděpodobně“ míní „spíše ano“, kdežto US GAAP – Obecně přijímané účetní zásady USA, jím míní „téměř jistě“. Kromě tohoto každodenního konceptu pravděpodobnosti, kterým sdělujeme svůj osobní úsudek o jistých událostech, byla vyvinuta teorie pravděpodobnosti, která dnes tvoří velmi bohaté odvětví matematiky.

V teorii pravděpodobnosti se pravděpodobností míní reálné číslo od nuly do jedné. Jednička je přiřazena jevu jistému (například to, že vám na běžné hrací kostce padne číslo od jedné do šesti) a nula jevu nemožnému (na stejné kostce vám padne sedmička). Intuitivně by se tedy dalo předpokládat, že pravděpodobnosti mezi těmito hranicemi vyjadřují „něco mezi“, že pokud má nějaký jev pravděpodobnost blízké jedné, většinou nastane a naopak. Tato úvaha je vcelku správná, zároveň však skrývá kritický krok, kterého si všichni nemusí být vědomi.

Běžně se rozlišují dva pohledy na pravděpodobnost – teoretický a statisticko  empirický. Příkladem toho druhého je právě pravděpodobnost narození chlapce či děvčete. Příkladem prvního je tvrzení, že pravděpodobnost padnutí panny při hodu mincí je 0,5. Zní jako rozumný předpoklad, že ani jedna strana mince není fyzikálními zákony preferována a ony vyražené symboly jsou tam jen pro nás a kdybychom je vyrazily opačně, nic by se nezměnilo. Jinými slovy: předpokládáme, že panna i orel budou při hodu mincí zastoupeny se stejnou četností, „půl na půl“. A nyní jsme u onoho kritického kroku, jehož pochopení je nutné k tomu, co od pravděpodobnosti očekávat lze a co očekávat nelze.

Všechny ostatní hodnoty pravděpodobnosti kromě nuly a jedničky nám totiž vůbec nic neříkají o tom, co se ve skutečnosti stane nebo nestane. „Pravděpodobnost padnutí panny je 0,5“ je totiž jinou verzí výroku: „Pokud bychom hodili nekonečněkrát, byl by podíl panna:orel roven 1:1“. Zní to samozřejmě zatraceně podezřele a pro běžné účely to lze s mírnou ignorací matematiky přeformulovat jako „Čím vícekrát hodíme, tím spíše se poměr panna:orel bude stabilizovat kolem poměru 1:1.“ Obecná formulace tohoto konkrétního výroku se nazývá Zákon velkých čísel a je klíčem k pochopení mezí aplikovatelnosti teorie pravděpodobnosti na reálné fenomény.

Pravděpodobnost vám tedy nikdy neříká nic o tom, co se stane v jednom konkrétním případě! Říká jen, jaký bude výsledný poměr sledovaných jevů při dostatečně vysokém počtu jejich realizace, ale opět neříká nic o tom, jaké konkrétní prvky budou součástí oněch jevů. Příklad: ze zkušenosti víte, že pětina králíků vám každý rok uhyne. Pokud tedy vyberete jednoho králíka, pravděpodobnost, že vám letos uhyne, je 0,2. Tato informace však vůbec nic neříká o tom, zda to bude zrovna tento králík. Stejně tak pokud jste desetkrát hodili mincí a vždy vám padla panna, neznamená to, že pojedenácté vám spíše padne orel. Pravděpodobnost (kromě oněch hraničních případů jistoty a nejistoty) nikdy nemůže přinést informaci o jednom konkrétním případu.

Pokud si tedy například libujete v nebezpečné jízdě autem a projíždíte svou oblíbenou zatáčku v protisměru, protože „jste tam ještě nikdy nikoho nepotkali“, takže „pravděpodobnost, že tam někoho potkáte, je nízká“, zahráváte si s ohněm, protože jste nepochopili meze konceptu pravděpodobnosti. Vaše tvrzení je v tomto případě zřejmě zcela subjektivním očekáváním na základě vaší zkušenosti, sama pravděpodobnost vám k tomu, co se stane či nestane, nemá co říci. I kdybyste provedli nejsofistikovanější statistická měření a tuto pravděpodobnost „objektivně“ kvantifikovali, nic by se nezměnilo. Nikdy by vám neřekla, že proti vám zrovna nic nepojede. Možná by vám řekla, že proti vám něco pojede v jednom z tisíce případů, nikdy vám však jistě neřekne, kdy to bude.     

Poznámka na závěr. K rozvoji teorie pravděpodobnosti neodmyslitelně přispěl Richard von Mises, mladší bratr Ludwiga von Misese a jeden z nejvýznamnějších matematiků první poloviny dvacátého století, zejména v aplikované oblasti. Jeho hlavním zájmem byla aplikovaná matematická analýza, teorie pravděpodobnosti, matematická statistika, mechanika tekutin, aerodynamika a aeronautika. Habilitoval se na technické univerzitě v Brně, která byla na začátku dvacátého století nově založenou technickou univerzitou v Rakousku-Uhersku. Získal profesuru aplikované matematiky na Štrasburské univerzitě a jeho žádost o profesuru na Brněnské univerzitě zůstala v důsledku první světové války nevyřízena. Poté se stal ředitelem a prvním profesorem Institutu aplikované matematiky Berlínské univerzity. Před druhou světovou válkou stejně jako Ludwig odešel do USA, kde získal profesuru aerodynamiky a aplikované matematiky na Harvardově univerzitě a kde působil do své smrti v roce 1953.

„Pouze s příchodem Richarda von Misese na Berlínskou univerzitu začala existovat první seriózní německá škola aplikované matematiky s dalekosáhlým vlivem. Von Mises byl neuvěřitelně dynamická osobnost a zároveň byl úžasně všestranný. Jeho nejsilnější stránkou byla technologie.

– Alexander Ostrowski

„Základ pro aplikaci výsledků matematické teorie pravděpodobnosti na reálné náhodné procesy musí záviset na nějaké formě četnostního konceptu pravděpodobnosti vyvinutého von Misesem.“

– A. N. Kolmogorov, ruský matematik, jehož axiomatizace teorie pravděpodobnosti se stala standardem