Matematická konzistence II

MyEgo.cz

home foto blogy mywindows.cz kontakt

Matematická konzistence II

Matematika 03.11.08

(Toto je pokračování předchozího zápisku.)

Než budu pokračovat, neodpustím si reakci na jeden z komentářů: jak jsem již psal, matematika je velmi abstraktní věda. Dokonce natolik abstraktní, že ji někteří neuznávají za vědu. O tomto názoru se dá dost dlouho polemizovat. Souhlasím s tvrzením, že často se nebuduje matematická teorie postupně, lineárně. Ale nešlo mi o to, abych ukázal způsob myšlení badatelů, ale princip. I když tohle taky neplatí. Příkladem budiž Velká Fermatova věta. Než byla v roce 1994 dokázána, hodně tehdejších důkazů začínalo prohlášením: „Předpokládejme, že Velká Fermatova věta platí…“ Ale to všechno jsou detaily, které pro své potřeby zanedbám.

Už odpradávna velké myslitele fascinovaly paradoxy. I v matematice se paradoxy vyskytovaly, ale protože se nevědělo, co s nimi, jednoduše se ignorovaly. Několik paradoxů zde uvedu a začnu s asi nejznámějším, který se často uvádí jako paradox lháře (nebo též paradox Kréťana):

Jistý Kréťan jménem Epimenidés prohlásil: „Všichni Kréťané jsou lháři!“

Pokud by tato věta byla pravdivá, znamenalo by to, že výrok sám sebe popírá. V opačném případě (všichni Kréťané nejsou lháři) se popírá také. Problém není jen v tom, že tento výrok by se dal označit za metavýrok, ale i ve faktu, že trochu jinak funguje negace v logice a v lidské řeči.

Dalším známým paradoxem je paradox Russelův, který existuje v hodně formách s holiči, pradlenami apod., ale já mám nejraději formu s katalogy:

V knihovně jsou katalogy, které obsahují seznam knížek nebo jiných katalogů. Jeden z těchto katalogů obsahuje seznam všech katalogů, kromě katalogů, které obsahují samy sebe. Je v tomto katalogu zařazen on sám?

V tomhle případě to není na první pohled tak patrné. Pokud by daný katalog obsahoval sám sebe, nesplňoval by podmínku. V opačném případě by nebyl kompletní. Takovýchto paradoxů existuje velké množství, uvedu zde ještě tzv. Berryho paradox, jenž mi připadá velmi vtipný:

„Nejmenší kladné číslo, které není možné definovat pomocí méně než třinácti slov.“

Jedná se o definice čísla, které podle definice nelze definovat. Přesto jsem ho právě definoval. A definice byla kratší než třináct slov! Věta tedy opět popírá sama sebe.

Co tedy udělat s těmito (a dalšími) paradoxními větami, pokud je chceme prohlásit za součást matematiky? V první čtvrtině 20. století se pokusil slavný matematik David Hilbert spolu s armádou spolupracovníků najít na tuto otázku odpověď. V rámci tzv. Hilbertova programu byla i redukce celých matematických teorií na pouhé formální systémy, které se sestávají z axiomů a aritmetiky. Cílem bylo nalézt úplnou, axiomatizovatelnou, bezespornou podstatu matematiky. (Jen doplním, že bezesporná teorie je taková, která neobsahuje protiklady, tedy výrok a zároveň jeho negaci.)

Přestože patřil Hilbert k matematické špičce celého 20. století, pustil se do předem prohraného boje. V roce 1931 publikoval rakouský matematický logik Kurt Gödel své Věty o neúplnosti, ve kterých definoval meze matematiky a zhatil tak provedení Hilbertova programu. Podle Gödela existují v matematice pravdivá tvrzení, která nelze dokázat, a pokud by se stalo, že někdo důkaz konzistence aritmetiky našel, znamenalo by to, že konzistentní není.

Důsledkem je tvrzení, že na některé otázky nelze zodpovědět. Ne ve smyslu, že bychom neměli dostatečnou mozkovou kapacitu, ale protože bylo ukázáno, že žádné odpovědi neexistují a neexistuje tak ani postup, jak se k nějakým odpovědím dopracovat. Nic není dokonalé a ani matematika není výjimkou…


Komentáře

  1. 1 Radek Hulán 03.11.08, 17:23:45

    "Co tedy udělat s těmito (a dalšími) paradoxními větami, pokud je chceme prohlásit za součást matematiky?" --- spíše součást populárně-zábavných matematických hříček :)

    PS: tento blog se mi líbí, nastavil jsem mu VIP status.

  2. 2 Petr Černý 03.11.08, 17:31:04
    FB

    [1] Matematikové tyhle hříčky evidentně milují.

    A jsem rád, že se Vám tenhle weblog líbí, díky.

  3. 3 Navrátil Josef 03.11.08, 18:54:24
    FB

    Jen bych ještě dodal, že důležitý význam měl Gödel pro axiom výběru. Podařilo se totiž dokázat, že pokud se použije, tak dostaneme bezespornou teorii a pokud se předpokládá platnost jeho negace, tak dostaneme také bezespornou teorii, podobně s hypotézou kontinua. Velice mě zaujalo, že za 2. sv. války se udajně v německu nepoužíval axiom výběru se zdůvodněním, že se jedná o "židácký" výmysl. Nevím, kolik je na tom pravdy.

  4. 4 Pavel Nad 03.11.08, 21:45:57
    FB

    Velmi zajímavé,poskytnu vam jeden takovy vyrok,ktery se libi zas me:
    "Dokáže všemocný Bůh vytvořit kámen který neuzvedne?"

    Pokud je odpověd ano tak to neni pravda,protoze jelikoz je všemocný,musí ho uzvednout.

    Pokud je odpověd ne,opět výrok sám sebe popíra,protože jelikož je bůh všemocný,musí umět takový kámen vytvořit.

  5. 5 Lukáš Klika 03.11.08, 22:07:49
    FB

    Zajímavé :) osobně se za nějakého matfyzáka či něco podobného nepovažuji, ale tohle téma mě docela oslovilo :)

  6. 6 Blatecký Lukáš 03.11.08, 23:28:21
    FB

    [4] Docela by mě zajímalo vyjádření od člověka znalého teologie. Je sice pravda, že Vaše věta spíše spadá do filozofické "škatulky", ale jasně naznačuje, že nic není 100% a pevně definované.

  7. 7 Bawn Petr 04.11.08, 10:16:07
    FB

    [2] Musel jsem se zaregistrovat abych reagoval. Výborný článek, asi nejvíce zajímavý co jsem tu kdy četl, pěkné pohodové čtení, které zaujme. Právě proto doufám, že na podobné téma si tu toho počtem více... Díky

  8. 8 Vítězslav Havlíček 04.11.08, 23:58:52
    FB

    Dobrý den, nedá mi to, zaregistroval jsem se zde a musím reagovat. Rád bych uvedl na pravou míru "paradox" s Kréťanem.

    Ten totiž vůbec není paradoxem! Uvažujme logicky - pokud je Epimenidés pravdomluvný, pak jsou všichni Kréťané lháři. Epimenidés tedy zároveň je a není lhář - to je spor dle pravidla tertium non datur.
    Jaká je tedy druhá možnost? Epimenidés lže!
    Výrok "Všichni Kréťané jsou lháři" není pravdivý.
    To znamená, že ne všichni Kréťané jsou lháři. Ale Epimenidés lhářem být klidně může, to přece ničemu nevadí!

    A paradox je vyřešen.
    (Jednoduchý důsledek predikátové logiky.)

  9. 9 Petr Černý 05.11.08, 21:50:03
    FB

    [8] Ano, trochu nešťastně jsem tento paradox formuloval. Jenže jak jsem se zmínil v článku, nejedná se o negaci v (predikátové) logice, ale o negaci v přirozeném (lidském) jazyce. V přirozeném jazyce není sémantický rozdíl mezi výrazy „všichni Kréťané“ a „Kréťané“, slovo „všichni“ je tedy redundantní a negace toho výroku zní: „Všichni Kréťané nejsou lháři,“ což není totéž co: „Existuje Kréťan, který je lhář,“ nebo jak píšete vy: „Ne všichni Kréťané jsou lháři.“

    Toto často bývá velmi matoucí. Navíc je problém v tom, že v tomto případě „být lhářem“ znamená lhát neustále a „nebýt lhářem“ znamená mluvit pouze pravdu.

    Toto se dá dobře popsat na množinách: mějme množinu všech Kréťanů. Každý prvek (Kréťan) z této množiny bude buď lhář nebo pravdomluvný. No a teď jeden z těchto prvků prohlásí výše uvedené, čímž samozřejmě označí i sám sebe. Je to takhle jasnější?

  10. 10 Michal Tuláček 12.11.08, 11:04:00
    FB

    Na paradox lhare je upozorneno uz v Bibli: Titovi 1:12

  11. 11 Příjmení Jméno 21.01.09, 11:43:10
    FB

    [4] a [6]: Nejsem sice zběhlý v teologii, ale kdysi jsme tohle řešili na střední v rámci společenských věd (prý jde o závěry Tomáše Akvinského): Bůh je všemocný, ale jen v porovnání s bytostmi. Pro něj však lidská měřítka neplatí, proto jej nelze takto porovnávat (stejný důvod je použit jako důkaz toho, že Bůh ví o věcech, co se teprve stanou, jelikož je věčný a tak pro něj neplatí lidské měřítko - čas).

  12. 12 Pavol Repcik 12.05.09, 11:57:00
    FB

    ked ono je to zlozite, raz ktosi napisal, ze dva dni riesil nejaku logicku hadanku a nez ju vyriesil, tak dvomi roznymi sposobmi dokazal, ze to nema riesenie :-P

Nový komentář

Pro přidání komentáře se musíte nejdříve  registrovat Facebookem

Banan.cz