Matematická konzistence I

MyEgo.cz

home foto blogy mywindows.cz kontakt

Matematická konzistence I

Matematika 02.11.08

Matematika je velmi abstraktní věda. Dalo by se říct, že asi nejabstraktnější věda vůbec (snad jen náboženství je ještě více abstraktnější). To, co zná většina lidí (představme si průměrného člověka…) ze základní a střední školy, bych spíše označil za počty, než za opravdovou matematiku. Ovšem nechci, aby to vyznělo stejně jako v mém prvním zápisku, že pohrdám nevysokoškolským vzděláním. To rozhodně ne.

Tato abstrakce v matematice ovšem není neomezená, má nějaká pravidla. Na začátku se stanoví několik základních tvrzení, tzv. axiomů. (Když už jsem se matematiku odvážil porovnávat s náboženstvím, tak v náboženství se axiomy de facto vyskytují také, jenom se jim říká dogmata.) Axiomy se stanoví jako několik zřejmých tvrzení, se kterými se obecně souhlasí, a odvozují se z nich další principy. Jsou to vlastně takové základy křehké matematické stavby. Pokud by se ukázalo, že nějaký z axiomů je neplatný, celá teorie by se sesypala jako domeček z karet. Což se už několikrát stalo. Nevěříte?

Nejslavnějším příkladem může být postulát o rovnoběžkách, který formuloval v knize Základy slavný antický matematik Eukleidés. Tato kniha byla svého času velmi uznávaná a zahrnovala veskrze celé starověké matematické vědění. Axiom (postulát) o rovnoběžkách je jeden z pěti axiomů, které definují tzv. euklidovskou geometrii, což byla donedávna (přesněji do 19. století) jediná známá geometrie.

Postulát zní:

„Pokud přímka protínající dvě přímky s nimi na jedné straně vytíná vnitřní úhly menší než dva pravé, potom se tyto dvě přímky prodloužené do nekonečna protínají na té straně, kde jsou úhly menší než dva pravé.“

Tato formulace je dosti zamotaná, ale po chvíli přemýšlení dojdeme k tomu, že se jedná o tvrzení ekvivalentní situaci, ve které máme libovolnou přímku a vedle ní libovolný bod. V této situaci existuje právě jedna přímka, která je s danou přímkou rovnoběžná a prochází tím bodem. Jinak řečeno, pokud tento axiom platí, rovnoběžky se nikdy nesetkají. Existuje spousta možností, jak tento axiom vyjádřit.

O tomto axiomu se vedly léta spory, zdali je vůbec potřeba a nedá se nahradit nějakým jiným nebo jestli je vlastně platný. Tak nějak se usuzovalo, že platí. Tím se dostáváme k dalšímu termínu, platnost tvrzení. Tvrzení je platné, pokud se považuje za dokázané, tedy pokud je přímo axiomem (triviální platnost) nebo vyplývá z axiomů nebo z již dokázaných výroků. Tvrzení se většinou vyvrátí tak, že se najde případ, ve kterém neplatí (protipříklad) nebo pokud je v rozporu s nějakým jiným (platným) tvrzením. Matematika se považuje za bezespornou vědu, tedy že nemohou vedle sebe existovat dvě opačná tvrzení (v příštím zápisku se pokusím popsat, že to není až tak úplně pravda).

Ale zpátky k rovnoběžkám. Problém nebyl v samotném postulátu, ale v tom, že pokud vezmeme v úvahu jiné prostředí než euklidovskou rovinu, tak s rovnoběžkami můžeme dělat psí kusy. Příkladem takovéhoto prostředí může být sféra (povrch koule). Na povrchu koule lze sestrojit několik rovnoběžek k jedné přímce. Lze také sestrojit dvě přímky, které se navzájem protínají na dvou místech.

Možná se řeknete: „Co to je sakra za šílenství, zabývat se geometrií na povrchu koule? Vždyť geometrie se uvažuje pouze v ‚obyčejném‘ prostoru.“ Ano, ale důsledkem tohoto zjištění bylo, že se euklidovská geometrie přestala uznávat jako jediná možná. Pro jiná prostředí bylo potřeba vymyslet jiné (neeuklidovské) geometrie. A tím pádem euklidovy postuláty neplatí obecně, mají jen omezenou platnost. Dokonce se nemusí vymýšlet obskurní příklady těchto neeuklidovských prostředí – bylo zjištěno, že v astronomických měřítkách v našem světě „klasická“ geometrie neplatí…


Komentáře

  1. 1 Maros 02.11.08, 01:09:17
    FB

    Veľmi pekné čítanie, podal si tématiku, ktorej bežný ľudia moc nerozumejú, naozaj zrozumiteľne.
    Celkovo sa mi tento blog páči, bolo na čase, aby niekto vyvrátil zažité omyly.

  2. 2 Michal Tuláček 02.11.08, 03:07:04
    FB

    Tak za prvé matematika není věda. Věda popisuje svět za pomoci vědeckých metod, což je pozorování, vyslovení hypotézy, experimentální ověření hypotézy a následné vyvrácení hypotézy a nebo její pasování na teorii, kterou setrvá dokud se nevymyslí hypotéza přesnější případně se neobjeví experimentální poznatek teorii vyvracející. Matematika oproti tomu je o tom, zadefinovat si dané podmínky a následné zkoumání "kam nás to zavede". To není věda v pravém slova smyslu.

    Ad platnost axiomu apod. Máme teorii a tu tvoří soubor axiomů a nějaká pravidla, co se s tím dá dělat. Axiomy by měly být ideálně vnitřně bezesporné, to znamená, že by neměly umožnit dokázat tvrzení P i non(P). Pokud by to umožnily, bylo by v rámci této teorie dokazatelné libovolné tvrzení. To neznamená, že je něco špatně. V kontextu dané teorie opravdu platí vše, jediný "problém" je, že daná teorie je tím pádem k ničemu. Ale rozhodně se nestane, že by podobně jako ve fyzice došlo k úpravě daných dokázaných vět. Ty platí v nějakém kontextu a v tom už zůstanou. Před časem mě například pobavila novinářská senzace "goniometrie vyvácena", když jakýsi matematik přišel na vkutku zajímavou reformulaci středoškolské geometrie nezahrnující goniometrické funkce. Jen tu sanmou věc formuloval jinak, vyšel z jinýh postulátů a došel k tomu, že ze svých postulátů dokáže dokázat tvrzení klasické goniometrie a naopak. Matematika je o tom, dávat různám věcem stejné názvy.

    Jinou věcí je, zda se dá dokázat vše, tedy zda je naše metoda úplná - věta V je buď dokazatelná a tedy pravdivá nebo se dokázat nedá a tedy je nepravdivá. Toto by bylo krásné, dokonce se o důkaz tohoto tvrzení matematici pokoušeli, ale Gödel jim "vypálil" rybník svými větami, kterými v zásadě říká "jak do toho zamícháte aritmetiku, tak už nemůžete spoléhat na to, že se dané tvrzení dá dokázat". Zajímavá je pak vazba na informatiku, protože v zásadě libovolný program můžeme přeformulovat na větu "daný algoritmus nám při daném vstupu odpoví ANO". Provedení algoritmu je důkaz této věty a naopak. Ale to má v důsledku nepříjemné důsledky pro informatiku, protože občas nejsme schopni říct, zda daný algoritmus skončí nebo ne - a jsme u halting problému. To je i důvod, proč matematická logika např. na matfyzu je u informatiků a ne "na Karlíně" u matematiků.

    Sférickou geometrii pokud se nepletu začal zkoumat Pascal, který tuto teorii rozvíjel a jako správný praktik pak šel ven to vyzkoušet (přecijenom žijeme na "kouli"). Zajímavým faktem pro sférickou geometrii je, že některá klasická tvrzení zde neplatí, např. "součet úhlů v trojúhelníku je 180°" - představte si, že stojíte na pólu a jdete po nultém poledníku na rovník, odtud po rovníku k 90° poledníku a odtud zpět na pól. Opsali jste na kouli trojúhelník a ten měl všechny úhly pravé!

    Poslední komentář si dovolím k tvrzení "matematika se buduje od axiomů". Tak tomu je když je matematika vyučována. Ale v reálu je matematikova práce často spíše podobná zedníkovi, který nejprve nahrubo postaví stěny, pak na tom postaví střechu a nakonec když má barák nějaký tvar tak začne teprva budovat solidní základy. S tím, že když se tam ty základy nevejdou, tak buď překope stavbu nebo ji zavrhne s tím, že je to vlastně blbost. Taková teorie množin také nebyla stavěna tak, že by si někdo řekl "mějme axiom dvojice" apod, ale nejprva tu byla množina, pak si s ní matematici hráli, až zjistili že tu s ní existují nechutné paradoxy a tak se pustili do budování základů, které mají dnes sice postavené, ale někde v rohu se směje Gödel, protože se nemusí nikdy podařit dokázat věta o tom, že ty základy jsou bezesporné.

    Matematika je fascinující obor. A často je o tom, zjistit že dva její zcela nesouvisející obory spolu mají tolik společného, že je skoro až nepochopitelné proč byly brány rozdílně. A bohužel se na aplikaci dsažených výsledků musí velmi dlouho čekat, není výjimkou že "zcela zbytečný" poznatek známý matematikovi 300 let najednou zčistajasna objeví fyzik dnes a pomůže mu to vyřešit aktuální problém.

  3. 3 Michal Šmilauer 02.11.08, 12:31:00
    FB

    Náboženství ale přeci není věda!

  4. 4 Petr Černý 02.11.08, 12:33:25
    FB

    [2] Díky za podnětný komentář, matematika je spíše můj zájem, nejsem matematik a články zde publikované ber spíše jako populárně naučné přiblížení lidem, kteří se s tím nikdy nesetkali, ne jako rigorózní definice. Právě o Gödelovi a bezespornosti chci napsat další článek.

  5. 5 Petr Černý 02.11.08, 12:34:48
    FB

    [3] Někteří lidé (bohužel) teologii uznávají.

  6. 6 Aleš Hodina 02.11.08, 12:45:37
    FB

    Zajímavý článek, slibně se rozvíjel, ale ke konci mi přišel tak nějak useknutý. Jen by mě zajímalo, co přesně jste myslel větou "Na povrchu koule lze sestrojit několik rovnoběžek k jedné přímce.". Na rovině lze také sestrojit několik (ba přímo nekonečno) rovnoběžek k jedné přímce.

  7. 7 Petr Černý 02.11.08, 12:47:25
    FB

    [6] ... které prochází tím daným bodem.

  8. 8 Michal Tuláček 02.11.08, 17:05:31
    FB

    [5] To nám říkal na jaderce studijní proděkan na DOD - "my fyzici lezeme nahoru na hoře poznání, a až se vyšplháme na vrchol, tak tam už dávno budou sedět teologové a řeknou nám 'my vám to říkali'"
    [4] Já jsem zase informatik co studuje na matfyzu a tak mě občas seznamují i s věcmi, které běžný matematik nemusí vůbec během studia poznat (např. ty vhledy do logiky podrobnější než jen omezit se na to, co se dělá v rámci výrokovky na střední, nebo např. na předmětu "matematické struktury" jsme ani neměli ten "matematický framework", tzn. nějaká čísla, pěkné struktury jako tělesa (algebraická) apod. a vše jsme budovali od základu..) a to už zase vede k trošku jinému náhledu...

  9. 9 hledající a nalézající 02.11.08, 21:18:25
    FB

    ... kdy konečně lidi = nečlenové církve se pustí s jasnou hlavou do dogmat a řeknou například: hele lidi , vy fakt věříte v tu vraždu, která se přemalovala na oběť smíření? = toto je jednou z nejtvrdších náboženských dogmat spoutávající snad už miliardy lidí ...

  10. 10 hledající a nalézající 02.11.08, 22:12:56
    FB

    ad dogmata: jsem opravdu zvědavý, kdy admin, jakožto velice inteligentní člověk zpracuje toto novodobé dogma: http://911.yweb.sk/
    http://video.google.com/videoplay?docid=-5410283867128293391...
    http://video.google.com/videoplay?docid=-3219629169575348946...
    http://video.google.com/videoplay?docid=1870519088657369298...
    http://video.google.com/videoplay?docid=-8111577368685807466...
    http://video.google.com/videoplay?docid=-5184310213776126451...

  11. 11 hledající a nalézající 02.11.08, 22:20:46
    FB

    ... matematiku mám rád, konečně již dokázali Fermatovu větu, což? ... Prosím probuďte mě, až se tady budou probírat například černé díry nebo třeba omyly současné kosmologie, či nedostatky některých Einsteiových teorií... do té doby budu s manželkou hrát svou oblíbenou hru logik, ano? ...

  12. 12 Majk Bug 02.11.08, 22:30:29
    FB

    Je to zajímavý článek, na který musím odpovědět. Matematika je podle I Kanta čistě apriorní věda, racionalistická, s čímž se ztotožňuji a dodávám, že je to jakási utilita, řekněme "motyka", bez které by se ostatní vědy neobešly, ale která sama o sobě nemá žádný význam, je to lidská myšlenková konstrukce.

    Náboženství ale není věda. Je to součást kultury a už to slovo nemám rád, protože hází do jednoho pytle jakési směry a pseudosměry ze všech kultur, nadto je náboženství zodpovědné za mnoho zla.

    Daleko radši bych použil výraz "víra v Boha". Jedině vírou poznám, že Bůh existuje, je všemocný a věčný a že na něm závisí můj posmrtný i nynější život. Pokud tak ale učiním, musím uznat teologii jako nejdůležitější vědu, kterou opravdu stojí za to se zabývat. Bohosloví. Co pro mě může být na zemi důležitějšího, než hledat pravdu v Božím slově?
    [5] Ano, i teologie může zabloudit, zvlášť když teolog nemá tu základní přísadu, víru. Potom se z teologie stane prázdný žvást, nikam nevede a nic nevyřeší. S vírou ale, s osobním, nadpřirozeným, vztahem s Bohem může člověka dovést k poznání mnoha pravd.

    [9] vražda...přečti si třeba evangelium podle Jana...

    Abych to završil takovou peprnou poznámkou...ostatně každý lepší matematik věřil v Boha, ne?

  13. 13 Petr 03.11.08, 08:40:10
    FB

    Teologie je věda asi ve stejném smyslu, jako třeba právní věda nebo filozofie. Pokud vezmeme dogmata, tak jak jsou, tak vše ostatní se dá opravdu zkoumat, studovat a posuzovat logikou.
    S vírou to ovšem nic společného nemá. Víra je iracionální, na rozdíl od vědy - dobrým teologem můžu být i jako nevěřící.

  14. 14 hledající a nalézající 03.11.08, 19:10:23
    FB

    [12] ... esenci jaké víry, prosím? té slepě věřící nebo té, která vznikne až po bezohledném hledání a nalézání, kdy se člověk skloní před Řádem (přírody vesmíru atd ...) V tom druhém případě již není potřeba slepého věření jest pouze radostné hledání a nalézání s díkem v srdci. Pro to první je napřed NUTNÉ přijmout něco, co je prý pravdivé , i když není, a tak se slepě věří bez porozumění.... nečlenové církví pomožte vyjít z bludů věřícím, copak je pozemsky možné, abych spáchal zločin a někdo jiný se přihlásil a řekl, jdu za něj sedět? Ano, u slepé víry je to možné a je dokonce možné, nejhorší surovou vraždu přemalovat na oběť smíření, i přesto, že samotný zavražděný SÁM dopředu ukazoval na MOŽNOST, že bude nepohodlný tehdejší(náboženské) moci (římanům nevadil, uklidňoval lidi :-))a tudíž zavražděn. (viz podobenství o vinařích, kdy se nájemci měli stydět a začít platit nájem a ne syna majitele vinice zabít a vzkázat majiteli: óóó Pane, díky, žes jej poslal, v jeho krvi jsme se vykoupali a jsme čistí, neboť přišel kvůli tomu, aby se obětoval (mimochodem porušení přikázání Nezabiješ). Nejsem v žádné církvi , ale fandím jim a matematiku mám rád :-)

  15. 15 Tomáš Novella 06.11.08, 15:57:20
    FB

    prosím Ťa neuraz sa, ale tento článok nemá podľa mna žiadnu informačnú hodnotu... tieto veci sme rovnako námatkovo preberali niekde v prvom ročníku gymnázia. Mohol si aspoň napisať nejake odkazy pre nematematikov na tú "šílenú" Lobačevského geometriu ( http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry... ), alebo aspoň ju prebrať viac to hĺbky, lebo tento článok len naznačuje, že také niečo existuje; no nekonkretizuje, načo je to dobré, atd.

    Ináč skús nabudúce napísat niečo o Sierpinského trojuholníku, o množinách, (možno aj grafoch, hoci o tom sa asi pútavo pre masy písať nedá :-) ).

    Fingers crossed.

  16. 16 Vlach Martin 07.01.09, 13:07:30
    FB

    [2] "Opsali jste na kouli trojúhelník a ten měl všechny úhly pravé!"
    Chyba lávky, podle mě jsi na oné kouli spíše popsal trojúhelník, jež má 2 úhly pravé a ten zbylý (na pólu) nulový a přesto je trojúhelníkem. (Vhodnější označení by bylo trojstaník, pokud řekneme, že úhel 0° není úhlem.)
    Každopádně součet úhlů je stále 180°!

Nový komentář

Pro přidání komentáře se musíte nejdříve  registrovat Facebookem

Banan.cz